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神秘而优雅的π:关于π的那些美妙的等式哥嫂风雨情小脚印亲子

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发表于 2020-3-25 23:50 | 显示全部楼层 |阅读模式
说起π大家大要并不陌生,从小学我们就晓得π是圆周率,其值大约是3.14。可是数学家们是怎样盘算π的切确的值的呢?是画一个庞大的圆来丈量吗?大如果割圆术吗?实在都不是,今世数学家们用的是π的恒等式。


先举一个恒等式的例子:


此式双方同乘4便可以获得π的一个盘算式。奇异的是,持续串有理数经过加减后可以得出在理数π。可以发现,等式右侧是正奇数的倒数交织加减而得,盘算到必定的位数便可以获得π的一个近似值,可是由于此式收敛速度太慢(也就是说,用这个公式盘算小数点后一样位数的π的近似值需要很长时候),正确盘算中不太会操纵此公式。下面的各个公式的证实较难,这个公式较简单,可以由函数y=arctan(x)在x=1处的泰勒展开式间接得出。
我们也能经过无穷项的乘积来盘算π,例如:




也可以经过连分数的形式求出:


还可以经过加和的形式获得:


这个式子经过简单推导又可以得出一系列关于π的恒等式:






人们也用较小数值的归正切值来盘算π,比如:


印度历史上最著名的数学家之一拉马努金提出过很多关于π的各类求和公式,喜好用直觉导出公式,可谓神来之笔,留下的大量公式后来激发了大量研讨,令后代数学家敬佩和迷惑。比如:


这个公式明显比前面的正切式更美丽。


这个公式如此复杂,直到盘算机出现以后才获得具体利用。固然,拉马努金也提出过很是简单的盘算方式,比如:


这个式子直到小数点后8位都是切确的,比355/113≈3.14159292正确很多。
要想更加正确的盘算π的值,可以用以下这个等式:


在这个级数中,每增加一项,就能增加31位数。当k=0时,笔者算出的π为3.141592653589793054428…,与标准值3.14159265358979323846小数点后前15位类似,而且此差异大如果由于盘算本事有限引发的。
现在,随着超级盘算机的飞速成长,我们可以晓得π的小数点后十万亿位的数字,实在只需要几十位数就能使得宇宙标准内的圆的周长误差不到一个氢原子直径,可是对π的盘算可以作为检验盘算机盘算本事的一种好方式。

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